Всё решается по договорённости между сторонами.
Всё должно быть чётко и прозрачно.
Кто оплачивает если собака заболела в период аренды?
Можно оговорить варианты, что если болезнь травматического характера - платит тот, у кого собака живёт, если инфекционного - то 50 на 50, если сказывается наследственность... А на деле может оказаться и так, что всё оплатит, кому собаку жальче...
Чем больше всё предусмотрите, тем либо откажетесь от совладения вовсе

Либо меньше разногласий будет в будущем.
Главное - взаимопонимание между совладельцами и понимание каждой из сторон свой цели и ответственности перед собакой.
Образец договора совладения на сайте РКФ есть. Какие-то пункты можно убрать, что-то вписать новое.